Question

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，DE=$\sqrt{3}$，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 作BF⊥CE于F，首先证得Rt△BCF≌Rt△CDE，从而判定四边形ABFE是矩形，然后利用锐角三角函数在Rt△CDE中求得∠D=60°，从而确定答案．

解答 解：作BF⊥CE于F，
∵∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90°，
∴∠BCF=∠D．
又BC=CD，
∴Rt△BCF≌Rt△CDE．
∴BF=CE．
又∵∠BFE=∠AEF=∠A=90°，
∴四边形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∴AE=CE=3，
在Rt△CDE中
∵$tanD=\frac{CE}{DE}=\sqrt{3}$
∴∠D=60°
∵∠ABC+∠D=180°
∴∠ABC=120°．

点评 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．