Question

11．如图，四边形ABCD是正方形，点F是BC的中点，FG⊥AF，点E在BC的延长线上，CG平分∠DCE，交FG于点G，AB=4，求CG．

Answer 1

分析 选取AB的中点H，连接FH，证明△AHF≌△FCG，所以HF=CG，利用勾股定理即可求出CG的长度

解答 解：选取AB的中点H，连接FH，
∵FG⊥AF，
∴∠AFG=90°，
∴∠HAF+∠AFB=∠AFB+∠GFC=90°，
∴∠HAF=∠GFC，
∵AH=HB=BF=FC，
∴∠BHF=45°，
∴∠AHF=135°，
∵CG平分∠DCE，
∴∠FCG=135°，
在△AFH与△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAF=∠GFC}\\{AH=FC}\\{∠AHF=∠FCG}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△FCG（ASA），
∴HF=CG，
∵AB=4，
∴BH=BF=2，
∴由勾股定理可得：HF=2$\sqrt{2}$，
∴CG=HF=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合程度较高．