题目内容
19．如图1，△ABC中，∠ABC=60°，点E在边BC上，且EA=EB．（1）请先利用尺规作图的方法找到点E，在图1中标出（保留作图痕迹），再判断此时△ABE的形状是等边三角形（直接写出答案）；
（2）在图1中，取AE的中点D，若AD=CE，连接CD并延长交AB于点F，请先画出图形，再求∠CFA的度数；
（3）若∠ABC的大小不变，改变∠CAB的大小，得到图2，将（2）中“点D是AE的中点”改为“点D是AE上一点”，其他条件不变，猜想∠CFA与∠DBC的关系，并证明．
分析 （1）作AB的垂直平分线交BC于E，连结AE，则EA=EB，而∠B=60°，则可判断△AEC为等边三角形；
（2）先证明EC=ED得到∠ECD=∠EDC，再利用等边三角形的性质得∠AEB=60°，利用三角形外角性质得∠AEB=∠ECD+∠EDC，所以∠ECD=30°，然后再利用三角形外角性质易得∠CFA=90°；
（3）作DM∥BC交AB于M，如图B，由△ABE是等边三角形得到∠AMD=60°，AD=DM=AM，则△DAM是等边三角形，易得∠DEC=∠BMD=120°，接着证明DE=BM，于是可根据”SAS“判断△DBM≌△CDE得到∠BDM=∠ECD，再证明∠CBD=∠BCF，然后根据三角形外角性质得∠CFA=∠ABC+∠BCF=60°+∠BCF=60°+∠DBC，即∠CFA-∠DBC=60°．
解答 解：（1）如图1所示：△ABE是等边三角形；理由如下：
∵EA=EB，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）如图1，∵AD=DE，AD=CE，
∴DE=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
而∠AEB=∠ECD+∠EDC=60°，
∴∠ECD=30°，
∴∠CFA=∠B+∠BCF=60°+30°=90°；
（3）∠CFA-∠DBC=60°．理由如下：
作DM∥BC交AB于M，如图2所示；
∵△ABE是等边三角形，
∴∠AMD=60°，AD=DM=AM，
∴∴△DAM是等边三角形，
∴∠DEC=∠BMD=120°，
∵DE=AE-AD，BM=AB-AM，
∴DE=BM，
在△DBM和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{DM=CE}&{\;}\\{∠DMB=∠CED}&{\;}\\{BM=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△CDE（SAS），
∴∠BDM=∠ECD，
∵DM∥BC，
∴∠BDM=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCF，
∵∠CFA=∠ABC+∠BCF=60°+∠BCF，
∴∠CFA=60°+∠DBC，
即∠CFA-∠DBC=60°
点评 本题是三角形综合题目，考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题（3）的关键．
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如图，平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在边长为1的正方形在顶点上．
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