Question

12．如图（1），点M、N分别是正方形ABCD的边AB、AD的中点，连接CN、DM．
（1）证明：①CN=DM；②CN⊥DM；
（2）设CN、DM的交点为H，连接BH，如图（2），求证：△BCH是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性质可求证△ADM≌△DCN，所以CN=DM，∠ADM=∠DCN，∠ADM+∠CDM=∠DCN+∠CDM=90°，即可求证∠CHD=90°；
（2）连接CM，易证M、B、C、H四点共圆，所以∠BMC=∠BHC，证明△AMD≌△BCM，即可求证∠BHC=∠BCH

解答 解：（1）由题意知：AD=CD，
∵M、N分别是AB和AD的中点，
∴AM=DN，
在△ADM与△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠MAD=∠NDC}\\{AM=DN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴DM=CN，∠ADM=∠DCN，
∴∠DCN+∠CDM=∠ADM+∠CDM=90°，
∴∠CHD=90°，
∴CN⊥DM；

（2）连接CM，
由（1）可知：∠AMD=90°-∠ADM，
∠BCH=90°-∠DCN，
∴∠AMD=∠BCH，
∴M、B、C、H四点共圆，
∴∠BMC=∠BHC，
在△BCM与△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=AM}\\{∠MBC=∠MAD}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ADM（SAS），
∴∠BMC=∠AMD，
∴∠BHC=∠AMD=∠BCH，
∴△BCH是等腰三角形

点评 本题考查正方形的性质，涉及四点共圆，全等三角形的性质，圆周角定理等知识，综合程度高，考查学生灵活运用知识的能力．