Question

3．如图，AB是⊙O直径，C为⊙O上一点，AD垂直过C点的切线于点D，连接BC，过C点作CF⊥AB于点F．
（1）求证：CD=CF；
（2）若∠B=60°，CD=2$\sqrt{3}$，求⊙O的半径OB．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，由切线的性质得OC⊥CD，加上CD⊥AD，则OC∥AD，再根据平行线的性质和等量代换可得到∠DAC=∠OAC，然后根据角平分线的性质定理得到结论；
（2）由（1）知，CF=CD=2$\sqrt{3}$，在Rt△BCF中利用正弦定义可计算出CB=4，再证明△OCB是等边三角形，于是得到OB=BC=4．

解答 （1）证明：连接OC，如图，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∵CF⊥AB，CD⊥AD，
∴CD=CF；
（2）解：由（1）知，CF=CD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BCF中，∵sinB=$\frac{CF}{BC}$，
∴CB=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
∵OC=OB，∠B=60°，
∴△OCB是等边三角形，
∴OB=BC=4，
∴⊙O的半径为4．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．