Question

15．如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）如果DE=2，tanC=$\frac{1}{2}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）证明：连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线得到OD∥BC，再根据切线的性质得到DE⊥OD，然后根据平行线的性质可判断DE⊥BC；
（2）连结BD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用等角的余角相等得到∠C=∠BDE，接着根据正切的定义在Rt△CDE中计算出CE=2DE=4，在Rt△BDE中计算出BE=$\frac{1}{2}$DE=1，则BC=5，然后利用OD为△ABC的中位线可求出OD，从而得到圆的直径．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵D为AC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC；
（2）解：连结BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE+∠CDE=90°，
而∠CDE+∠C=90°，
∴∠C=∠BDE，
在Rt△CDE中，∵tanC=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=2DE=4，
在Rt△BDE中，∵tan∠BDE=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$DE=1，
∴BC=BE+CE=5，
∵OD为△ABC的中位线，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AB=BC=5，
即⊙O的直径为5．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．