Question

12．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=$\frac{m}{x}$和直线y=kx+b交于A，B两点，A（5，1），BC⊥y轴于C，且OC=5BC．
（1）求双曲线和直线的解析式；
（2）若点P是x轴上一点，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标代入y=$\frac{m}{x}$求出m，从而得到反比例函数解析式；再利用OC=6BC可设B点坐标为（t，-6t）（t＞0），然后把B（t，-6t）代入反比例函数解析式求出t，得到B点坐标为（1，-6），再利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据直线AB的解析式和题意设出另一条直角边的解析式，然后分两种情况分别讨论即可求得P的坐标．

解答 解：（1）∵A（5，1）在反比例y=$\frac{m}{x}$图象上，
∴m=5×1=5，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{5}{x}$；
∵BC⊥y轴于点C，且OC=5BC，
∴设B点坐标为（-t，-5t）（t＞0），
把B（-t，-5t）代入y=$\frac{5}{x}$得t₁=1，t₂=-1（舍去），
∴B点坐标为（-1，-5），
把A（5，1）、B（-1，-5）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=1}\\{-k+b=-5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$．
∴一次函数解析式为y=x-4；
（2）∵点P是x轴上一点，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，AB的解析式为y=x-4，
∴设另一条直角边的解析式为y=-x+n，
当直角顶点是A时，则有1=-5+n，解得n=6，
∴解析式为y=-x+6，
令y=0，则x=6，
当直角顶点是B时，则有-5=1+n，解得n=-6，
∴解析式为y=-x-6，
令y=0，则x=-6，
∴点P的坐标是（6，0）或（-6，0）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式．