Question

11．已知二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A（1，0）和D（4，3），与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）将二次函数y=x²+mx+n的图象在点B，C之间的部分（包含点B，C）记为图象G．已知直线l：y=kx+b经过点M（2，3），且直线l总位于图象的上方，请直接写出b的取值范围；
（3）如果点P（x₁，c）和点Q（x₂，c）在函数y=x²+mx+n的图象上，且x₁＜x₂，PQ=2a．求x₁²-ax₂+6a+1的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得函数的解析式，然后利用配方法求得顶点坐标；
（2）求得直线经过C和B两种情况求得b的值，据此判断b的范围；
（3）二次函数y=x²-4x+3的对称轴是直线x=2，且x₁＜x₂，PQ=2a．则x₁=2-a，x₂=2+a，代入即可求解．

解答 解：（1）根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-1}\\{4m+n=-13}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=3}\end{array}\right.$．
故二次函数的表达式为y=x²-4x+3，顶点坐标为（2，-1）；
（2）y=x²-4x+3中令x=0，解得y=3，则C的坐标是（0，3）．
当直线y=kx+b经过点B时，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=9}\end{array}\right.$，
则3＜b＜9；
（3）∵P（x₁，c）和点Q（x₂，c）在函数y=x²-4x+3的图象上，
∴PQ∥x轴，
∵二次函数y=x²-4x+3的对称轴是直线x=2，
又∵x₁＜x₂，PQ=2a．
∴x₁=2-a，x₂=2+a；
∴x₁²-2x₂+6a+1=（2-a）²-a（2+a）+6a+1=5．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的性质，理解P和Q对称是关键．