Question

6．如图，抛物线y=-x²+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和点B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个判断：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=-1，则b=4；
③抛物线上有两点P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂；
④若AB＞2，则m＜-1．
其中正确判断的序号是（　　）

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 利用函数图象找出图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围对①进行判断；先确定抛物线的对称性对②进行判断；根据二次函数的性质对③进行判断；利用根与系数的关系用m表示AB，从而得到关于m的不等式，然后解不等式可对④进行判断．

解答 解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；
抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，而A（-1，0），所以B点坐标为（3，0），所以②错误；
因为x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，则点Q到直线x=1的距离比点P到直线x=1的距离大，所以y₁＞y₂，所以③正确；
因为a+b=2，ab=-（m+1），所以AB=$\sqrt{（b-a）^{2}}$=$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\sqrt{{2}^{2}+4（m+1）}$＞2，解得m＞-1，所以④错误．
故选C．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：由二次函数的交点式y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．也考查了根与系数的关系．