Question

17．将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分面积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

Answer 1

分析 设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=45°，再根据旋转的性质求出∠CAC′=15°，AC′=AC，然后求出∠C′AD=30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得AD=2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．

解答 解：如图，设B′C′与AB交点为D，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，
∴∠CAC′=15°，AC′=AC=1，
∴∠C′AD=∠BAC-∠CAC′=45°-15°=30°，
∵AD=2C′D，
∴AD²=AC′²+C′D²，
即（2C′D）²=1²+C′D²，
解得C′D=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选D．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．