Question

1．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）判断AB、CD、AD之间的数量关系，并证明；
（3）若AD=10，CB=8，求S_△ADE．

Answer 1

分析 （1）过点E作EF⊥DA于点F，首先根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，根据等量代换可得BE=EF，再根据角平分线的判定可得AE平分∠BAD；
（2）首先证明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代换可得结论；
（3）根据角平分线的性质可得EF=CE，再利用三角形的面积公式可得答案．

解答 （1）证明：过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD．

（2）证明：AD=CD+AD，
∵∠C=∠DFE=90°，
∴在Rt△DFE和Rt△DCE中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{EF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），
∴DC=DF，
同理AF=AB，
∵AD=AF+DF，
∴AD=CD+AD；

（3）解：∵CB=8，E是BC的中点，
∴CE=4，
∴EF=4，
∵AD=10，
∴S_△ADE=10×4×$\frac{1}{2}$=20．

点评 此题主要考查了角平分线的性质和判定，以及全等三角形的性质和判定，关键是掌握角平分线的性质和判定定理．