Question

5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：FC=AD；
（2）求证：AB=BC+AD；
（3）若∠ABC=50°，求∠F．

Answer 1

分析 （1）可通过说明△ADE≌△FCE，证明FC=AD；
（2）由（1）知，AD=CF，要证明AB=BC+AD，只要证明AB=BF就行．可利用三线合一或者说明△ABE≌△FBE；
（3）由（2）知△ABF是等腰三角形，知∠ABC，利用等腰三角形的角间关系，易求∠F．

解答 解：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．
∵点E是DC的中点，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠F}\\{∠ADE=∠FCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC=AD．

（2）证明：由于△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，FC=AD，
又∵BE⊥AF，
∴BE是△ABF的中垂线，
∴AB=BF=BC+CF=BC+AD．
（3）解：由（2）知，△ABF是等腰三角形，
∴∠F=$\frac{180°-∠ABC}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$．

点评 本题是一道四边形综合题，主要考察了三角形全等的判断，等腰三角形的三线合一和三角形的内角间关系．在等腰三角形中，若已知顶角，则底角=$\frac{180°-顶角}{2}$，若已知底角，顶角=180°-2底角．解决此类问题，前面的结论可作为后面的条件．