Question

15．如图，在直角坐标系中，直线y₁=-x-l与坐标轴交于A，B两点，与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$交于点C，连结OC，过点C作CM⊥x轴，垂足为点M，且OA=AM．则下列结论正确的个数是（　　） 
①S_△CMO=1；②当x＜0时，y₁隨x的增大而减小，y₂随x的增大而増大；
③方程-x-1=$\frac{k}{x}$有一个解为x=-2；④当-2＜x＜0，y_l＜y₂．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由直线可求得A点坐标，结合条件可求得M点、C点坐标，从而可求得k的值，利用反比例函数k的几何意义可判断①；利用函数的增减性可判断②，利用方程、函数和函数图象的交点的个数之间的关系可判断③；结合图象可判断④．

解答 解：
在y₁=-x-l中，令y₁=0可得x=-1，
∴A点坐标为（-1，0），
∵OA=AM，
∴OM=2，
∴M点坐标为（-2，0），
∵CM⊥x轴，且C点在双曲线上，
∴C点坐标为（-2，$\frac{k}{-2}$），
又点C在直线上，
∴$\frac{k}{-2}$=2-1，解得k=-2，
∴反比例函数解析式为y₂=-$\frac{2}{x}$，
∴S_△COM=$\frac{1}{2}$|k|=1，
故①正确；
在y₁=-x-l中，-1＜0，在y₂=-$\frac{2}{x}$中，-2＜0，
∴y₁隨x的增大而减小，y₂随x的增大而増大；
故②正确；
由两函数图象交于点C，且C点横坐标为-2，
∴方程-x-1=$\frac{k}{x}$有一个解为x=-2，
故③正确；
结合两函数图象可知，
当-2＜x＜0时，直线在双曲线的下方，
∴y_l＜y₂，
故④正确；
综上可知正确的有四个，
故选D．

点评 本题主要考查函数图象的交点问题，掌握函数图象的交点坐标即对应两解析式构成的方程组的解是解题的关键．