Question

16．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图2所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；
（3）如图3，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，若AM=4，求△BMG的面积．

Answer 1

分析 （1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；
（2）①在AB上截取CE=CA；②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
于是得到结果；
（3）由H是DN的中点，等到DH=HN=$\frac{1}{2}$c，通过全等三角形的性质得到DG=EN=b，MG=c-b，由相似三角形的性质得到$\frac{c-b}{b}$=$\frac{a}{a+c}$，求得AM=BN=4，MN=4$\sqrt{2}$，过G作GP⊥AB于P，过E作EQ⊥AB于Q，根据相似三角形的性质得到GP=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{3}$，然后由三角形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）解：①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
综上所述：BN=$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$；

（2）解：作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图2所示：

（3）∵H是DN的中点，
∴DH=HN=$\frac{1}{2}$c，
∵△MND和△NBE均是等边三角形，
∴∠D=∠DNE=60°，
在△DGH和△NEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠DNE}\\{DH=HN}\\{∠DHG=∠NHE}\end{array}\right.$，
∴△DGH≌△NEH，
∴DG=EN=b，MG=c-b，
∵GM∥EN，
∴△AGM∽△NEN，
设AM=a，BN=b，MN=c，
∴$\frac{c-b}{b}$=$\frac{a}{a+c}$，
∴c²=2ab-ac+bc，
∵点M，N是线段AB的勾股分割点，
∴c²=a²+b²，
∴（a-b）²=（b-a）c，
∵b-a≠c，
∴a=b，
∴AM=BN=4，
∴MN=4$\sqrt{2}$，
过G作GP⊥AB于P，过E作EQ⊥AB于Q，
∵∠DMN=∠ENB=60°，
∴GM∥EN，
∴△AGM∽△AEN，
∴$\frac{AM}{AN}=\frac{GP}{EQ}$，
∵AM=4，AN=4+4$\sqrt{2}$，EQ=2$\sqrt{3}$，
∴GP=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{3}$，
∴S_△BMG=$\frac{1}{2}$BM•GP=$\frac{1}{2}$×（4+4$\sqrt{2}$）×（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$．

点评 本题是三角形综合题目，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要证明三角形全等和三角形相似才能得出结论．