Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．
（1）连接OD，OE，求证：△ADO∽△OEB；
（2）当AC=2时，求⊙O的半径；
（3）设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由已知条件易证∠A=∠EOB，∠ADO=∠OEB=90°，所以可证明△ADO∽△OEB；
（2）由△ABC是直角三角形，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，可知OD∥BC，在△ADO中，解得半径即可．
（3）由题意可知，OD∥BC，∠AOD=∠B，则两角正切值相等，进而列出关系式．

解答 （1）证明：∵O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ADO=∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴OE∥AC，
∴∠A=∠EOB，
∴△ADO∽△OEB；

（2）解：在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD=$\frac{AD}{OD}=\frac{2-OD}{OD}$=$\frac{1}{3}$，
解得OD=1.5，
∴圆的半径为1.5；

（3）解：∵AC=x，BC=8-x，
在直角三角形ABC中，tanB=$\frac{AC}{BC}=\frac{x}{8-x}$
∵以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E，
∴四边形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB=$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{OD}$=$\frac{x-y}{y}$，
解得y=-$\frac{1}{8}$x²+x．

点评 本题考查了切线的性质．相似三角形的性质与判定以及锐角三角函数的运用，在运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题．