Question

7．（1）问题发现
如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延长线上，连接CE，请填空：
①∠ACE的度数为60°；
②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CE-CD．
（2）拓展探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC的延长线上，连接CE请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．
（3）问题解决
如图3，在Rt△ABC中，AC=3，BC=5，∠ACB=90°，若点P满足PA=PB，∠APB=90°，请直接写出线段PC的长度．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=AC=BC，∠BAC=60°，AD=AE，∠DAE=60°，利用等量代换得∠BAD=∠CAE，则可根据“SAS”判断△ABD≌△ACE，
根据全等三角形的想知道的BD=CE，于是得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，根据全等三角形的性质得到∠ACE=∠B=45°，BD=CE，等量代换即可得到结论；
（3）如图3，点C，P在AB的同侧根据勾股定理得到AB=$\sqrt{34}$，过D作DE⊥AB于E，根据已知条件得到A，B，P，C四点共圆，AP=PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{17}$，设AE=DE=x，则BE=$\frac{5}{3}$x，根据相似三角形的性质得到PC=$\sqrt{2}$，如图4，点C，P在AB的异则，过A作AD⊥PC于D，根据等腰直角三角形的性质得到CD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，根据勾股定理得到PD=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，求得PC=CD+PD=4$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠B=60°；
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴BC=BD-CD=CE-CD，
∴AC=CE-CD；
故答案为：60°，AC=CE-CD；

（2）∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
在△ACE与△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ACE=∠B=45°，BD=CE，
即BC+CD=CE，
∴BC=CE-CD，
∴$\sqrt{2}$AC=CE-CD；

（3）如图3，点C，P在AB的同侧，∵AC=3，BC=5，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{34}$，
过D作DE⊥AB于E，
∵PA=PB，∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PBA=45°，且A，B，P，C四点共圆，AP=PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{17}$，
设AE=DE=x，
则BE=$\frac{5}{3}$x，
∴x+$\frac{5}{3}$x=$\sqrt{34}$，
∴x=$\frac{3\sqrt{34}}{8}$，
∴AE=DE=$\frac{3\sqrt{34}}{8}$，
∴AD=$\sqrt{2}$AE=$\frac{3\sqrt{17}}{4}$，
∴PD=AP-AD=$\frac{\sqrt{17}}{4}$，
∴BD=$\sqrt{P{D}^{2}+P{B}^{2}}$=$\frac{17}{4}$，
∵A，B，P，C四点共圆，
∴∠PCB=∠PAB，∠CPA=∠ABC，
∴△PCD∽△ABD，
∴$\frac{PC}{AB}=\frac{PD}{BD}$，
∴PC=$\sqrt{2}$，
如图4，点C，P在AB的异则，

过A作AD⊥PC于D，
∵∠ACB=∠APB=90°，
∴A，B，P，C四点共圆，
∴∠ACD=∠ABP=45°，∠APD=∠ABC，
∴CD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴PD=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴PC=CD+PD=4$\sqrt{2}$，
综上所述：线段PC的长度是$\sqrt{2}$或4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解决（3）小题的关键．