Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．
①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；
②求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD．先证明OD∥AC，得到∠CAD=∠ODA，再根据OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，进而得到∠CAD=∠BAD，即可解答．
（2）①DF=DH，利用FH平分∠AFE，得到∠AFH=∠EFH，再证明∠DFH=∠DHF，即可得到DF=DH．
②设HG=x，则DH=DF=1+x，证明△DFG∽△DAF，得到$\frac{DF}{AD}=\frac{DG}{DF}$，即$\frac{1+x}{2（1+x）}=\frac{1}{1+x}$，求出x=1，再根据勾股定理求出AF，即可解答．

解答 解：（1）如图，连接OD，

∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB．
（2）①DF=DH，理由如下：
∵FH平分∠AFE，
∴∠AFH=∠EFH，
又∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，
即∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH．
②设HG=x，则DH=DF=1+x，
∵OH⊥AD，
∴AD=2DH=2（1+x），
∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，
∴△DFG∽△DAF，
∴$\frac{DF}{AD}=\frac{DG}{DF}$，
∴$\frac{1+x}{2（1+x）}=\frac{1}{1+x}$，
∴x=1，
∵DF=2，AD=4，
∵AF为直径，
∴∠ADF=90°，
∴AF=$\sqrt{D{F}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$
∴⊙O的半径为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，本题涉及的知识点：两直线平行，等腰三角形的判定、三角形相似．