Question

9．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）连接BC，则△ABC的面积是不变的，过P作PM∥y轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时△PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积；
（3）设直线m与y轴交于点N，交直线l于点G，由于∠AGP=∠GNC+∠GCN，所以当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB=90°，则可证得△AOC≌△NOB，可求得ON的长，可求出N点坐标，利用B、N两的点坐标可求得直线m的解析式．

解答 解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）如图1，连接BC，过P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，

在y=x²-2x-3中，令y=0可得0=x²-2x-3，解得x=-1或x=3，
∴A点坐标为（-1，0），
∴AB=3-（-1）=4，且OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为y=x-3，
设P点坐标为（x，x²-2x-3），则M点坐标为（x，x-3），
∵P点在第四限，
∴PM=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PM•OH+$\frac{1}{2}$PM•HB=$\frac{1}{2}$PM•（OH+HB）=$\frac{1}{2}$PM•OB=$\frac{3}{2}$PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，PM_max=$\frac{9}{4}$，则S_△PBC=$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$，
此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC=6+$\frac{27}{8}$=$\frac{75}{8}$，
即当P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为$\frac{75}{8}$；
（3）①当点Q在x轴下方时，如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，

则∠AGB=∠GNC+∠GCN，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AOC和Rt△NOB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠NOB}\\{OC=OB}\\{∠ACO=∠NBO}\end{array}\right.$
∴Rt△AOC≌Rt△NOB（ASA），
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为（0，-1），
设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{d=-1}\end{array}\right.$，
∴直线m解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1；
②当点Q在x轴上方时，此时直线m与①中的直线m关于x轴对称，
∴解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1；
综上可知存在满足条件的直线m，其解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1或y=-$\frac{1}{3}$x+1．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM的值最大时四边形ABPC的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．