Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DF是斜边AB的垂直平分线，分别交边AB、AC及BC的延长线于点D、E、F，连接BE．
（1）求BE的长；
（2）求cos∠DFB的值．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,解直角三角形

专题：

分析：（1）根据题意可知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，根据勾股定理可得AB=10，AC=4，设BE为x，根据线段垂直平分线的性质可得AE=x，AD=BD=5，则CE=8-x，在Rt△CBE中，再一次使用勾股定理可解出x．即可求出BE的长；
（2）根据三角形内角和定理可得∠DFB=∠A，在Rt△ABC中利用余弦函数的定义求出cos∠A即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
设BE为x，
又∵DF是斜边AB的垂直平分线，分别交边AB、AC于点D、E，
∴AE=BE=x，AD=BD=5，
∴CE=8-x，
在Rt△BCE中，（8-x）²+6²=x²，
解之x=

25

4

，
即BE=

25

4

；

（2）在Rt△CEF中，∵∠DFB+∠ECF+∠CEF=180°，
在Rt△ADE中，∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，
又∵∠ECF=∠ADE=90°，∠CEF=∠AED，
∴∠DFB=∠A．
在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
∴cos∠A=

AC

AB

=

8

10

=

4

5

．

点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了勾股定理，三角形内角和定理，锐角三角函数的定义．