Question

（1）如图①，若AD⊥BD，AE⊥CE，且BD，CE分别平分△ABC的两个外角，试探索线段DE与△ABC的三条边AB、BC、AC之间的关系，并说明理由；
（2）如图②，若DB、CE是△ABC的两个内角平分线，（1）中的结论是否仍成立？如果成立，说明理由；如果不成立，试写出所包含的结论．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长AD交CB延长线于点G，延长AE交BC的延长线于点H，由条件可证明AB=BG，AC=CH，结合中位线定理可得出DE=

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GH，可找到DE与AB、BC、AC之间的关系；
（2）结论不成立，同样的方法可找到DE与AB、AC、BC之间的关系．

解答：解：（1）DE=

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（AB+AC+BC），理由如下：
如图1，延长AD交CB延长线于点G，延长AE交BC的延长线于点H，

∵BD平分∠ABG，AD⊥BD，
∴BA=BG，同理AC=CH，
∴D、E分别为AG、AH的中点，
∴DE为△AGH的中位线，
∴DE=

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GH，
又∵GH=GB+BC+CH=AB+BC+AC，
∴DE=

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（AB+BC+AC）；
（2）不成立，此时DE=

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（AB+AC-BC），理由如下：
如图2，延长AE交BC于点G，延长AD交BC于点H，

同（1）的方法可得到BH=AB，CG=AC，且DE=

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GH，
∴DE=

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（AB+AC-BC）．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质及三角形中位线定理，由条件构造等腰三角形再利用三角形中位线定理找到DE与AB、AC、BC的关系是解题的关键．