阅读下列材料:小华遇到这样一个问题.如图1.△ABC中.∠ACB=30°.BC=6.AC=5.在△ABC内部有一点P.连接PA.PB.PC.求PA+PB+PC的最小值．小华是这样思考的:要解决这个问题.首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离.然后再将它们连接成一条折线.并让折线的两个端点为定点.这样依据“两点之间.线段最短 .就可以求出这三条线段和的最小值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为$\sqrt{61}$；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．

分析（1）先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP=∠ECD，AC=EC=5，∠PCD=60°，再证明∠BCE=90°，然后在Rt△BCE中，由勾股定理求出BE的长度，即为PA+PB+PC的最小值；
（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD即为PA+PB+PC最小值的线段；
②当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC，则CP=CE，再证明△PCE是等边三角形，得到PE=CE=CP，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出BP=CP，同理，得出DE=CE，则BP=PE=ED=$\frac{1}{3}$BD．

解答解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC，
∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=5，∠PCD=60°，
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°，
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．
在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，BC=6，CE=5，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{61}$，
即PA+PB+PC的最小值为$\sqrt{61}$；

（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，
则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段；

②如图，当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，
∴△APC≌△DEC，
∴CP=CE，∠PCE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE=CE=CP，∠EPC=∠CEP=60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠PCB=∠EPC-∠CBP=60°-∠30°=30°，
∴∠PCB=∠CBP=30°，
∴BP=CP，
同理，DE=CE，
∴BP=PE=ED．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，BC=4，
∴BO=BC•cos∠OBC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2BO=4$\sqrt{3}$，
∴BP=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．