题目内容
9．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0（1）试判断上述方程根的情况．
（2）若以上述方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，求满足条件的m的最小值．
（3）已知△ABC的两边AB、AC的长是关于上述方程的两个实数根，BC的长为5．
①当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
②当k为何值时，△ABC是等腰三角形？请求出此时△ABC的周长．
分析 （1）表示出方程根的判别式，根据根的判别式的正负即可确定出方程根的情况；
（2）设方程的两根为x1，x2，根据题意得m=x1x2，再利用根与系数关系表示出x1x2，列出m关于k的二次函数解析式，利用二次函数性质求出m的最小值即可；
（3）①表示出方程的两解，即为AB与AC，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
②由（1）得到AB≠AC，分AC=BC与AB=BC两种情况求出k的值，并求出三角形周长即可．
解答 解：（1）由方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0，得b2-4ac=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=4k2+12k+9-4k2-12k-8=1＞0，
则方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个根为x1，x2，根据题意得m=x1x2，
又由一元二次方程根与系数的关系得x1x2=k2+3k+2，
∴m=k2+3k+2=（k+$\frac{3}{2}$）2-$\frac{1}{4}$，
则当k=-$\frac{3}{2}$时，m取得最小值-$\frac{1}{4}$；
（3）①x1=k+1，x2=k+2，
不妨设AB=k+1，AC=k+2，
当斜边BC=5时，有AB2+AC2=BC2，即（k+1）2+（k+2）2=25，
解得k1=2，k2=-5（舍去），
∴当k=2时，△ABC是直角三角形；
②当AB=k+1，AC=k+2，BC=5，由（1）知AB≠AC，
故有两种情况：
（i）当AC=BC=5时，k+2=5，即k=3，此时三角形周长为4+5+5=14；
（ii）当AB=BC=5时，k+1=5，即k=4，此时三角形周长为5+5+6=16．
点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，根的情况判断，二次函数的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
