Question

11．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC且交CD于点E，EF⊥AE且交BC于点F，求证：AE=EF．

Answer 1

分析 由BE平分∠ABC，得到∠ABE=∠CBE，根据矩形的性质得到AB∥CD，∠C=∠D=90°，AD=BC，由已知条件证得∠DAE=∠FEC，于是得到△ADE≌△ECF，即可得到结论．

解答 证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠C=∠D=90°，AD=BC，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE，
∴CE=AD，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AED+∠DAE=∠AED+∠FEC=90°，
∴∠DAE=∠FEC，
在△ADE与△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠C}\\{AD=CE}\\{∠DAE=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．