Question

19．请用三角板、圆规或量角器等工具，画∠POQ=60°，在边0OP上截取OA=20mm，在边OQ上截取OB=30mm，连接AB，画∠AOB的平分线交AB于点C，并求出AC：OC的值．

Answer 1

分析 利用尺规作图画出图形即可．作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，AE⊥OB于E．首先证明BC：AC=3：2，利用勾股定理求出AB，AC，设CN=x，则OC=2x，ON=$\sqrt{3}$x，在Rt△CNA中，根据AC²=CN²+AN²，列出方程即可解决问题．

解答 解：图形如图所示，作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，AE⊥OB于E．

∵OC平分∠AOB，
∴CM=CN，
∵$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△AOC}}$=$\frac{\frac{1}{2}OB•CM}{\frac{1}{2}OA•CN}$=$\frac{BC}{CA}$，
∵OA=20，OB=30，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{2}$，
在Rt△AOE中，∵OA=20，∠AOE=60°，
∴∠OAE=30°，
∴OE=10，BE=20，AE=10$\sqrt{3}$，
在Rt△AEB中，AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=10$\sqrt{7}$，
∴AC=$\frac{2}{5}$AB=4$\sqrt{7}$，
设CN=x，则OC=2x，ON=$\sqrt{3}$x，
在Rt△CNA中，∵AC²=CN²+AN²，
∴x²+（20-$\sqrt{3}$x）²=（4$\sqrt{7}$）²，
解得x=6$\sqrt{3}$或4$\sqrt{3}$（舍弃），
∴OC=12$\sqrt{3}$，
∴AC：OC=4$\sqrt{7}$：12$\sqrt{3}$=$\sqrt{21}$：9．

点评 本题考查作图-基本作图、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是利用面积法证明BC：AC=3：2，学会利用参数，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．