Question

8．阅读下列材料解决问题：
材料：古希腊著名数学家 毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21…这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数．
把数 1，3，6，10，15，21…换一种方式排列，即
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…
从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形数“名副其实”．
（1）设第一个三角形数为a₁=1，第二个三角形数为a₂=3，第三个三角形数为a₃=6，请直接写出第n个三角形数为a_n的表达式（其中n为正整数）．
（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由．
（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）66是三角形数，理由为：根据得出的规律确定出原因即可；
（3）表示出的T表示后，利用拆项法整理判断即可．

解答 解：（1）根据题意得：an=$\frac{n（n+1）}{2}$（n为正整数）；
（2）66是三角形数，理由如下：
当$\frac{n（n+1）}{2}$=66时，解得：n=11或n=-12（舍去），
则66是第11个三角形数；
（2）T=$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{15}$+…+$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+$\frac{2}{4×5}$+…+$\frac{2}{n（n+1）}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
∵n为正整数，∴0＜$\frac{n}{n+1}$＜1，
则T＜2．

点评 此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．