对于平面直角坐标系xOy中的点P(a.b).若点P′的坐标为.则称点P′为点P的“k属派生点．例如:P(1.4)的“2属派生点为P′(1+$\frac{4}{2}$.2×1+4).即P′(3.6)．的“2属派生点 P′的坐标为,(2)若点P的“1属派生点的坐标为(3.3).则a.b满足的条件为a+b=3,(3)如图.点Q的坐标为(0.4).点A在函数y=-$\frac{4}{x}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+$\frac{b}{k}$，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．
例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+$\frac{4}{2}$，2×1+4），即P′（3，6）．
（1）点P（-1，-2）的“2属派生点”P′的坐标为（-2，-4）；
（2）若点P的“1属派生点”的坐标为（3，3），则a、b满足的条件为a+b=3；
（3）如图，点Q的坐标为（0，4），点A在函数y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的图象上，且点A是点B的“-1属派生点”，设点B的坐标为（m，n）．
①试求出m与n的关系式；
②当线段BQ最短时，求B点坐标．

分析（1）根据题中的新定义求出点P（-1，-2）的“2属派生点”P′的坐标即可；
（2）根据题中的新定义求出a与b的关系式即可；
（3）①根据A为B的“-1属派生点”，由B的坐标表示出A的坐标，代入反比例解析式，整理得到m与n的关系式即可；
②根据题意得：当QB⊥直线l时，线段BQ最短，利用两直线垂直时斜率的关系求出l的斜率，与点B的轨迹方程联立求出B的坐标即可．

解答解：（1）根据题意得：-1+$\frac{-2}{2}$=-1-1=-2，2×（-1）-2=-2-2=-4，
则点P（-1，-2）的“2属派生点”P′的坐标为（-2，-4）；
（2）根据题意得：a+$\frac{b}{1}$=3，1•a+b=3，
则a+b=3；
（3）①∵A为B的“-1属派生点”，B（m，n），
∴a+$\frac{b}{k}$=m-n，ka+b=-m+n，即A（m-n，-m+n），
∵点A在函数y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）的图象上，
∴把A点坐标代入得：（m-n）（-m+n）=-4，且m-n＜0，-m+n＞0，
整理得：（m-n）²=4，
开方得：m-n=-2或m-n=2（舍去），
则m与n的关系式为m-n=-2；
②根据题意得：点B的轨迹方程l为y=x+2，
当QB⊥直线l时，线段BQ最短，
此时直线QB斜率为-1，即直线QB解析式为y-4=-x，即x+y=4，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
则当线段BQ最短时，B点坐标为（1，3）．
故答案为：（1）（-2，-4）；（2）a+b=3