Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接AD、BD，已知AB＝6，BC＝2．

（1）求AD的长度和四边形ACBD的面积；

（2）证明：2AD2=AC2+BC2．

Answer 1

【答案】（1）AD＝3，四边形ACBD的面积为9+4；（2）见解析．

【解析】

（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ACD＝90°，根据∠ACB的平分线可得，进而可得AD＝BD，再根据勾股定理即可求出AD、AC的长，根据三角形的面积公式计算即可求得四边形ACBD的面积；

（2）根据（1）可知AD＝BD，根据勾股定理即可得证．

解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，

∵∠ACB的平分线交⊙O于D，

∴，

∴AD＝BD，

∵在Rt△ABC中，AD2+BD2＝AB2，

∴AD＝BD＝×AB＝3，

∵在Rt△ABC中，AC＝，

∴四边形ACBD的面积＝×AD×BD+×BC×AC＝9+4；

（2）∵∠ACB＝∠ACD＝90°，

∴AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2，

∴AD2+BD2＝AC2+BC2，

又∵AD＝BD，

∴2AD2=AC2+BC2．