Question

9．（1）阅读下面解题过程：已知$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{5}$，求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+1}$的值．
解：∵$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{2}{5}$（x≠0），
∴$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$=$\frac{2}{5}$，即x+$\frac{1}{x}$=$\frac{5}{2}$．
∴$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+1}$=$\frac{1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{（x+\frac{1}{x}）^{2}-2}$=$\frac{1}{（\frac{5}{2}）^{2}-2}$=$\frac{4}{17}$
（2）请借鉴（1）中的方法解答下面的题目：
已知$\frac{x}{{x}^{2}-3x+1}$=2，求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$的值．

Answer 1

分析 类比（1）的方法把$\frac{x}{{x}^{2}-3x+1}$=2变为$\frac{1}{x-3+\frac{1}{x}}$=2，得出x+$\frac{1}{x}$=$\frac{7}{2}$，进一步把原式变形得代入求出答案即可．

解答 解：∵$\frac{x}{{x}^{2}-3x+1}$=2，
∴$\frac{1}{x-3+\frac{1}{x}}$=2，
∴x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$
=$\frac{1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+1}$
=$\frac{1}{（x+\frac{1}{x}）^{2}-1}$
=$\frac{1}{\frac{49}{4}-1}$
=$\frac{4}{45}$．

点评 此题考查分式的化简求值，理解题意，掌握给出的运算方法，类比化简得出答案即可．