题目内容
18．
如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
分析 （1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由勾股定理求出AC，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
解答 解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
∴PQ=$\sqrt{B{Q}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
（2）由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10（cm），
根据题意得：BQ=2tcm，CQ=（6-2t）cm，PA=tcm，BP=（8-t）cm，
若PQ能把△ABC的周长平分，则BQ+BP=CQ+PA+AC，
即2t+8-t=6-2t+t+10，
解得：t=4，
此时CQ=6-2t=-2，
∴t=4不合题意，
∴点Q在边BC上运动时，通过计算PQ不能把△ABC的周长平分；
（3）①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠AB
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8（cm）
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．
点评 本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
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