Question

4．已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为直线AB上一点，连接DC，以CD为斜边作直角三角形，并且∠DCE=∠BAC，连接BE并延长交AC的延长线于F．
（1）当tan∠BAC=$\sqrt{3}$时，求证：BE=EF；
（2）当tan∠BAC=$\frac{4}{3}$时，判断BE、EF的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作△BDC的外接圆⊙O，延长CE交⊙O于点G，连接BG，如图，根据圆周角定理可得∠DBC=∠DGC，根据圆内接四边形的对角互补可得∠DBG+∠DCG=180°，结合条件∠DCE=∠BAC可证到BG∥AF，从而可得△BEG∽△FEC，则有$\frac{BE}{EF}$=$\frac{GE}{EC}$．要证BE=EF，只需证GE=EC．易证CD=CG，设EC=x，则DE=$\sqrt{3}$x，根据勾股定理可求出DC（CG），即可求出GE，问题得以解决；
（2）由tan∠BAC=$\frac{4}{3}$可得$\frac{DE}{EC}$=$\frac{4}{3}$，设EC=3k，则DE=4k，根据勾股定理可求出DC（CG），即可求出GE，结合$\frac{BE}{EF}$=$\frac{GE}{EC}$就可解决问题．

解答 解：（1）作△BDC的外接圆⊙O，延长CE交⊙O于点G，连接BG，如图，
则有∠DBC=∠DGC，∠DBG+∠DCG=180°．
∵∠DCE=∠BAC，∴∠DBG+∠BAC=180°，
∴BG∥AF，
∴△BEG∽△FEC，
∴$\frac{BE}{EF}$=$\frac{GE}{EC}$．
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠DCG+∠DGC+∠GDC=180°，
∠DBC=∠DGC，∠BAC=∠DCG，
∴∠ACB=∠GDC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
又∵∠ABC=∠DGC，
∴∠DGC=∠GDC，
∴CD=CG．
∵tan∠BAC=$\sqrt{3}$，tanDCE=$\frac{DE}{EC}$，∠BAC=∠DCE，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\sqrt{3}$．
设EC=x，则DE=$\sqrt{3}$x，
∴CG=DC=2x，GE=GC-EC=x，
∴$\frac{BE}{EF}$=$\frac{GE}{EC}$=$\frac{x}{x}$=1，即BE=EF；

（2）∵tan∠BAC=$\frac{4}{3}$，tanDCE=$\frac{DE}{EC}$，∠BAC=∠DCE，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{4}{3}$．
设EC=3k，则DE=4k，
∴CG=DC=5k，GE=GC-EC=2k，
∴$\frac{BE}{EF}$=$\frac{GE}{EC}$=$\frac{2k}{3k}$=$\frac{2}{3}$，即3BE=2EF．

点评 本题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数的定义、勾股定理等知识，构造辅助圆是解决本题的关键．