Question

16．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，连接PA、PB，当S_△PAB=8时，点P的坐标为（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）或（1，-4）．

Answer 1

分析 根据待定系数法求出b，c的值，得出函数解析式，根据P点在抛物线上设出P点坐标，然后再由S_△PAB=8，从而求出P点坐标．

解答 解：∵抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（3，0）
∴OA=1，OB=3，$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}&{\;}\\{9+3b+c=0}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=-3，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；
设点P的坐标为（x，y），∵AB=3+1=4，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×4×|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4，
当y=4时，x²-2x-3=4，
∴x₁=1+2$\sqrt{2}$，x₂=1-2$\sqrt{2}$，
当y=-4时，x²-2x-3=-4，
∴x=1，
∴当P点的坐标分别为（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）或（1，-4）时，S_△PAB=8；
故答案为：（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）或（1，-4）．

点评 本题考查用待定系数法求函数的解析式，抛物线与x轴的交点，函数图象点的坐标；熟练掌握用待定系数法求函数的解析式，把三角形面积公式同函数联系起来，是一种比较常见的题型．