Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

．
将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出

1

n(n+1)

=

 

（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

=

 

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

；
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）分母是两个连续自然数的乘积，分子是1，可以拆成分子是1，分母是两个自然数的分数的差；
（2）①②把分数拆分，进一步抵消得出答案即可；
（3）提取

1

4

，进一步利用上面的规律拆分抵消得出答案即可．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2013×2014

=

2013

2014

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

；
（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

=

1

4

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1006

-

1

1007

）
=

1

4

×（1-

1

1007

）
=

1

4

×

1006

1007

=

503

2014

．

点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律：分母是两个连续自然数的乘积，分子是1，可以拆成分子是1，分母是两个自然数的分数的差，进一步利用规律，解决问题．