Question

AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使BD=DC，连AC，过D作DE⊥AC于E，AC交⊙O于F．求证：
（1）AB=AC；
（2）DF=DB；
（3）DE为切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，加上BD=CD，则可判断AD垂直平分BC，于是根据线段的垂直平分线的性质即可得到AB=AC；
（2）由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得AD平分∠BAC，即∠BAD=CAD，则根据圆周角定理得

BD

=

DF

，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到BD=DF；
（3）连结OD，如图，先证明OD为△ABC的中位线，则OD∥AC，加上DE⊥AC，所以DE⊥OD，于是根据切线的判定定理即可得到DE为切线．

解答：证明：（1）连结AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD=CAD，
∴

BD

=

DF

，
∴BD=DF；
（3）连结OD，如图，
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为切线．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．