Question

10．如图，在△A₁B₁C₁中，已知A₁B₁=7，B₁C₁=4，A₁C₁=6，依次连接△A₁B₁C₁三边中点，得△A₂B₂C₂，再依次连接△A₂B₂C₂的三边中点，得△A₃B₃C₃，…，则△A_nB_nC_n的周长=$\frac{17}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半，然后写出前三个三角形的周长，再根据指数的变化规律写出△A_nB_nC_n的周长即可．

解答 解：∵A₁B₁=7，B₁C₁=4，A₁C₁=6，
∴△A₁B₁C₁的周长=7+4+6=17，
∵依次连接△A₁B₁C₁三边中点，得△A₂B₂C₂，
∴△A₂B₂C₂的周长=$\frac{1}{2}$×17，
∵再依次连接△A₂B₂C₂的三边中点，得△A₃B₃C₃，
∴△A₃B₃C₃的周长=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$×17）=$\frac{1}{{2}^{2}}$×17，
…，
△A_nB_nC_n的周长=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$×17=$\frac{17}{{2}^{n-1}}$．
故答案为：$\frac{17}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，三角形的周长，熟记定理并明确中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半是解题的关键．