Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1，求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若a=

1

3

，c=b-2，证明抛物线与x轴有两个交点；
（3）若a=

1

3

，c=2+b且抛物线在-2≤x≤2区间上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的最值

专题：

分析：（1）将a、b、c的值代入，可得出抛物线解析式，从而可求解抛物线与x轴的交点坐标；
（2）把a=

1

3

，c=b-2代入抛物线解析式，表示出方程的判别式的表达式，利用配方法及完全平方的非负性即可判断出结论；
（3）a=

1

3

，c-b=2，则抛物线可化为y=x²+2bx+b+2，其对称轴为x=-b，分x=-b＜-1，x=-b＞2两种情况讨论b的取值，根据最小值为-3，可得出方程，求出b的值即可．

解答：（1）解：当a=b=1，c=-1，时，抛物线为y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的两个根为x₁=-1，x₂=

1

3

，
∴该抛物线与x轴交点的坐标是（-1，0）和（

1

3

，0）；

（2）证明：当a=

1

3

，c=b-2时，抛物线y=x²+2bx+b-2，设y=0，则x²+2bx+b-2=0，
∴△=4b²-4b+8=（2b-1）²+7＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；

（3）解：a=

1

3

，c-b=2，则抛物线可化为y=x²+2bx+b+2，其对称轴为x=-b，
当x=-b＜-1时，即b＞1，则有抛物线在x=-1时取最小值为-3，
此时-3=（-1）²+2×（-1）b+b+2，
解得：b=6，符合题意；
当x=-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，
此时-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=-

9

5

，不合题意，舍去．
当-1≤-b≤2时，即-2≤b≤1，则有抛物线在x=-b时取最小值为-3，
此时-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化简得：b²-b-5=0，
解得：b=

1+ 21

2

（不合题意，舍去），b=

1- 21

2

，
综上可得：b=6或b=

1- 21

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了一元二次方程的解，求根公式及根与系数的关系，解答本题的难点在第三问，关键是分类讨论，此题难度较大．