Question

如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y=

a

x

（a≠0，x＞0）分别交于C（4，1）、D（1，4）两点．
（1）分别求直线l和双曲线的解析式；
（2）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，把C（4，1）、D（1，4）两点的坐标代入函数的解析式，即可求出答案；
（2）设直线l平移后的解析式为y=-x+5-m，组成方程组

y=-x+5-m y= 4 x

，整理得出方程-x²+（5-m）x-4=0，得出△=（5-m）²-4×（-1）×（-4）=0，求出即可．

解答：解：（1）设直线l的解析式是y=kx+b，
∵直线l和反比例函数y=

a

x

交于C（4，1）、D（1，4）两点，
∴a=4，

4k+b=1 k+b=4

，
解得：k=-1，b=5．
∴直线l的解析式为y=-x+5，双曲线的解析式是y=

4

x

；

（2）设直线l平移后的解析式为y=-x+5-m，
则

y=-x+5-m y= 4 x

，
整理得：-x²+（5-m）x-4=0，
∵直线与双曲线有且只有一个交点，
∴△=（5-m）²-4×（-1）×（-4）=0，
∴m=1或9，
∵x＞0，
∴m=1，
即当m=1时，直线与双曲线有且只有一个交点．

点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，平移的性质，根的判别式，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．