Question

如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，AB∥y轴．直线l：y=kx从点O出发，以1cm/s的速度沿x轴正方向运动，依次经过点D、A．记直线l被五边形OABCD截得的线段长度为a cm，直线l运动的时间为t s，a与t之间的函数图象是由3条线段组成，P（4，5）、Q（9，10）、R（12，m）依次分别为三段函数图象上的一点，如图2所示．当t=16时，直线l与BC重合，此时a=

5

2

．
（1）求当t=4时直线l的解析式；
（2）求m的值；
（3）若直线l将五边形分成周长为12：19的两部分，求t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）当t=4时，求得直线l与x轴的交点M坐标，然后根据勾股定理求得直线与y轴的交点，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）根据Q在a与t之间的函数图象的第二段上，此段函数应该是与x轴平行的线段，当直线l经过D点时，解得的线段的长是10，根据勾股定理即可求得OD的长，从而求得C的纵坐标，然后延长DC、AB交于点G，在直角△BCG中，求得CG的长度，即可求得A的坐标，和AB的长，则当t=12时，即可求解；
（3）分直线在过D的直线左边和右边两种情况进行讨论，用t表示出直线l左边部分的长度，然后根据12：19的两部分，再分两种情况讨论求解．

解答：解：（1）当t=4时，直线l与x轴的交点M坐标是（4，0），
MN=5，则ON=

MN2-OM2

=

52-42

=3，
则N的坐标是（0，3）．
设直线l的解析式是y=kx+b，则

4k+b=0 b=3

，
解得：

k=- 3 4 b=3

，

则直线的解析式是：y=-

3

4

x+3；
（2）设OD=m，则当直线经过点D时，直线l的解析式是y=-

3

4

x+m，令y=0，解得：x=

4

3

m，
则

m2+( 4 3 m)2

=10，
解得：m=6，
则OD=6，C的纵坐标是6，
设直线当移动到BC的位置时，直线的解析式是y=-

3

4

x+b，
直线与x轴的交点坐标是（16，0），
则-12+b=0，
解得：b=12，
则直线的解析式是：y=-

3

4

x+12，
令y=6，得到：-

3

4

x+12=6，
解得：x=8．
即C的横坐标是8．C的坐标是（8，6）．
延长DC、AB交于点G．则

BG

CG

=

3

4

，
设BG=3x，则CG=4x，
则（3x）²+（4x）²=（

5

2

）²，
解得：x=

1

2

，
则CG=2，BG=

3

2

，
则OA=8+2=10，
则当t=12时，设直线交x轴于点E，交AB于点F．
则AE=2，
则AF=

3

4

×2=

3

2

，
则EF=

22+( 3 2 )2

=

5

2

．
即：m=

15

2

；
（3）AB=6-BG=6-

3

2

=

9

2

，
则五边形OABGD的周长是：10+

9

2

+

5

2

+8+6=31．
当直线经过点D时，t=8，
当0＜t≤8时，若t+

3

4

t=

12

12+19

×31，解得：t=

48

7

，
 若t+

3

4

t=

19

12+19

×31，解得：t=

74

7

（舍去）；
当8＜t＜16时，当t+6+（t-8）=

12

12+19

×31，解得：t=7（舍去），
当t+6+（t-8）=

19

12+19

×31，解得：t=

74

7

（舍去）．
总之，t=

48

7

或

74

7

．

点评：本题是一次函数与勾股定理，相似三角形的性质的综合应用，正确求得OA，AB的长是关键．