Question

如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，点B在⊙O上，BP的延长线交直线l于点C，连结AB，AB=AC．
（1）直线AB与⊙O相切吗？请说明理由；
（2）若PC=2

5

，求⊙O的半径；
（3）线段BC的中点为M，当⊙O的半径为r为多少时，直线AM与⊙O相切．

Answer 1

考点：切线的判定,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：计算题

分析：（1）连接OB，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由OP=OB得∠OPB=∠OBP，由OA⊥l得∠OAC=90°，则∠ACB+∠APC=90°，而∠APC=∠OPB=∠OBP，所以∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据勾股定理，在Rt△ACP中有AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，在Rt△AOB中有AB²=PO²-OB²=5²-r²，
由于AC=AB，所以（2

5

）²-（5-r）²=5²-r²，然后解方程；
（3）作OT⊥AM于T，根据切线的判定当OT=OB时，AM与⊙相切，则根据切线长定理得∠OAB=∠OAT，根据等腰三角形的性质由AB=AC，M为线段BC的中点得∠CAM=∠MAB，则∠CAM=2∠MAO，可计算出∠OAT=30°，于是得到OT=

1

2

OA=

5

2

，所以⊙O的半径为r为

5

2

时，直线AM与⊙O相切．

解答：解：（1）直线AB与⊙O相切．理由如下：连接OB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACB+∠APC=90°，
而∠APC=∠OPB=∠OBP，
∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r；
在Rt△ACP中，AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，
在Rt△AOB中，AB²=OA²-OB²=5²-r²，
∵AC=AB，
∴（2

5

）²-（5-r）²=5²-r²，解得r=3，
即⊙O的半径为3；
（3）作OT⊥AM于T，如图，
当OT=OB时，AM与⊙相切，
∴∠OAB=∠OAT，
∵AB=AC，M为线段BC的中点，
∴∠CAM=∠MAB，
而∠MAB=∠OAB+∠OAT，
∴∠CAM=2∠MAO，
∵∠CAO=90°
∴∠OAT=30°，
∴OT=

1

2

OA=

5

2

，
即⊙O的半径为r为

5

2

时，直线AM与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、切线长定理和勾股定理．