题目内容
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=45°，AB=4
，AD=7，BC=14．动点E从点B出发，沿B-C方向以2cm/s的速度运动，同时动点F从点C出发，沿C-D-A以2cm/s的速度运动，过点E作MEBC，与折线B-A-D相交于点M，当点M与点D重合时，两个动点都停止运动．设点E、F运动的时间为t秒（t＞0），由点B、M、E、F组成的四边形的面积为S．
（1）求线段CD的长；
（2）是否存在合适的t，使得△EFM是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出对应的t的值；
（3）直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．
| 2 |
（1）求线段CD的长；
（2）是否存在合适的t，使得△EFM是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出对应的t的值；
（3）直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．
考点：四边形综合题
专题：
分析：（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，由勾股定理就可以求出AE，DF的值，进而求出CD的值；
（2）如图3，如图4，根据（1）的结论求出tan∠B=
=1，sin∠C=
=
，cos∠C=
再由等腰三角形的分类讨论就可以求出t的值；
（3）如图5，6，7，8，分4中情况，0＜t≤2时，2＜t≤2.5，2.5＜t≤4，4＜t≤5.5时，由三角形的面积公式和梯形的面积公式就可以表示出S与t的关系式．
（2）如图3，如图4，根据（1）的结论求出tan∠B=
| AE |
| BE |
| DF |
| CD |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（3）如图5，6，7，8，分4中情况，0＜t≤2时，2＜t≤2.5，2.5＜t≤4，4＜t≤5.5时，由三角形的面积公式和梯形的面积公式就可以表示出S与t的关系式．
解答：解：（1）如图1，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴∠AEB=∠AEF=∠DFC=∠DFE=90°．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABC=∠BAE，
∴AE=BE．
在Rt△ABE中，AB=4
，由勾股定理，得
BE=AE=4．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°．
∴∠AEF=∠EAD=∠DFE=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF，AE=DF，
∴DF=4．
∵AD=7，
∴EF=7．
∵BC=14，
∴CF=14-7-4=3
在Rt△DFC中勾股定理，得
CD=5；
答：CD的长为5；
（2）∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴tan∠B=
=1，sin∠C=
=
，cos∠C=
．
如图2，当MF=EF时，作FH⊥EM于H，FG⊥BC于G，
∴∠FHE=∠FGE=90°，∠MEC=90，
∴四边形HEGF是矩形，
∴HE=GF．
∵EH=
EM=
BE=t，GF=
t，
∴t=
t，
∴t=0（舍去）．
如图3，当MF=ME时，作AG⊥BC交BC于G，
∴AM=2t-4．
∵FD=2t-5，
∴MF=7-（2t-4）-（2t-5）=16-4t，
∴16-4t=4，
∴t=3；
如图4，当MF=ME时，作AG⊥BC交BC于G，
∴AM=2t-4．
∵AF=12-2t，
∴MF=AM-AF=2t-4-（12-2t）=4t-16，
∴4t-16=4，
∴t=5．
∴t=3或t=4时，△EFM是等腰三角形；
（3）如图5，当0＜t≤2时，作FG⊥BC于G，
∴∠FGC=90°，
∴FG=
t．CG=
t．
∵BE=EM=2t，
∴EG=14-2t-
t=14-
t．
∴S=
+
=2t2+14t-
t2=-
t2+14t；
如图6，当2＜t≤2.5时，作FG⊥BC于G，
S=
+
=28-
t；
如图7，当2.5＜t≤4时，
S=
=
=-4t+32；
如图8，4＜t≤5.5时，
S═
=
=12t-32．
∴S=
．
∴∠AEB=∠AEF=∠DFC=∠DFE=90°．
∵∠ABC=45°，
∴∠BAE=45°，
∴∠ABC=∠BAE，
∴AE=BE．
在Rt△ABE中，AB=4
| 2 |
BE=AE=4．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB=90°．
∴∠AEF=∠EAD=∠DFE=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=EF，AE=DF，
∴DF=4．
∵AD=7，
∴EF=7．
∵BC=14，
∴CF=14-7-4=3
在Rt△DFC中勾股定理，得
CD=5；
答：CD的长为5；
（2）∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴tan∠B=
| AE |
| BE |
| DF |
| CD |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
如图2，当MF=EF时，作FH⊥EM于H，FG⊥BC于G，
∴∠FHE=∠FGE=90°，∠MEC=90，
∴四边形HEGF是矩形，
∴HE=GF．
∵EH=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| 5 |
∴t=
| 8 |
| 5 |
∴t=0（舍去）．
如图3，当MF=ME时，作AG⊥BC交BC于G，
∴AM=2t-4．
∵FD=2t-5，
∴MF=7-（2t-4）-（2t-5）=16-4t，
∴16-4t=4，
∴t=3；
如图4，当MF=ME时，作AG⊥BC交BC于G，
∴AM=2t-4．
∵AF=12-2t，
∴MF=AM-AF=2t-4-（12-2t）=4t-16，
∴4t-16=4，
∴t=5．
∴t=3或t=4时，△EFM是等腰三角形；
（3）如图5，当0＜t≤2时，作FG⊥BC于G，
∴∠FGC=90°，
∴FG=
| 8 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
∵BE=EM=2t，
∴EG=14-2t-
| 6 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∴S=
| 2t×2t |
| 2 |
2t(14-
| ||
| 2 |
| 16 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
如图6，当2＜t≤2.5时，作FG⊥BC于G，
S=
| 4×2t |
| 2 |
4(14-
| ||
| 2 |
| 12 |
| 5 |
如图7，当2.5＜t≤4时，
S=
| ME(MF+BE) |
| 2 |
| 4(16-4t+2t) |
| 2 |
如图8，4＜t≤5.5时，
S═
| ME(MF+BE) |
| 2 |
| 4(4t-16+2t) |
| 2 |
∴S=
|
点评：本题考查了梯形的性质的运用，勾股定理的运用，直角三角形的性质的运用，三角函数值的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，函数的解析式的运用，解答时求函数的解析式灵活运用三角形和梯形的面积公式是关键．
练习册系列答案
相关题目
若m＞n，则下列不等式成立的是（ ）
| A、-3m＞-2n |
| B、am＞an |
| C、a2m＞a2n |
| D、m-2＞n-3 |
如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，CE∥AD且CE=AD．
△ABC中，D是BC的中点．分别以AB，AC为一边，向三角形内部作Rt△ABE，Rt△ACF，使∠ABE=∠ACF，连接DE，DF，求证：DE=DF．
已知：在?ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，点M为AE上一点，且ME=AB，AM=CE，连接CM并延长交AD于点F．