Question

8．如图，直线y=x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若C（0，2），BE⊥AC于E．连OE．
（1）求∠OEB的度数；
（2）求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到△AOB是等腰直角三角形，求得∠OAB=45°，根据∠AOB=∠AEB=90°，得到B，O，E，A四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，得到直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，由于BE⊥AC，得到直线BE的解析式为y=2x+4，解方程组即可得到结论．

解答 解：（1）在y=x-4中，当y=0时，x=4，当x=0时，y=4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵BE⊥AC，
∴∠AOB=∠AEB=90°，
∴B，O，E，A四点共圆，
∴∠OEB=∠OAB=45°；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（4，0），C（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵BE⊥AC，
∴直线BE的解析式为y=2x-4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{12}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．