Question

18．二次函数y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）图象的顶点的纵坐标不大于$-\frac{b}{2}$，且图象与x轴交于A，B两点，则线段AB长度的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 易求得顶点坐标，即可取得a、b的大小关系，再根据一元二次方程求根公式即可求得AB长度（用a、b表示），即可解题．

解答 解：∵抛物线顶点横坐标为x=-$\frac{-b}{2a}$=$\frac{b}{2a}$，
代入得：y=a${（\frac{b}{2a}）}^{2}$-$\frac{{b}^{2}}{2a}$=b≤-$\frac{b}{2}$，
化简得：$\frac{b}{2a}$≥3，即b≥6a，（此时△＞0，符合题意）
∵当y=ax²-bx+b=0，时，x₁=$\frac{b+\sqrt{{b}^{2}-4ab}}{2a}$，x₂=$\frac{b-\sqrt{{b}^{2}-4ab}}{2a}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ab}}{a}$，
∵a、b均大于0，
∴当b=6a时，AB有最小值为2$\sqrt{3}$，
故答案为 2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一元二次方程的求根公式，考查了二次函数的最小值问题，本题中用a、b表示AB的长度是解题的关键．