Question

13．在平面直角坐标系中，A（-4，0），B（0，2），直线x=2与直线AB交于点C，与x轴交于点D，抛物线经过点A，且以C为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上位于A、C两点间的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求出直线AB以及顶点C坐标，再利用顶点式求出抛物线解析式即可．
（2）连接PD，设点P（m，-$\frac{1}{12}$m²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{8}{3}$），根据S_△PAC=S_△PAD+S_△PCD-S_△ACD构建二次函数，利用二次函数性质解决最值问题．

解答 解：（1）设直线AB为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB为y=$\frac{1}{2}$x+2，由题意点C（2，3），
设抛物线为y=a（x-2）²+3，点A（-4，0）代入得到a=-$\frac{1}{12}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{12}$（x-2）²+3，即y=-$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{3}$x+$\frac{8}{3}$．
（2）连接PD，设点P（m，-$\frac{1}{12}$m²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{8}{3}$），
∴S_△PAC=S_△PAD+S_△PCD-S_△ACD=$\frac{1}{2}$•6•（-$\frac{1}{12}$m²+$\frac{1}{3}$m+$\frac{8}{3}$）+$\frac{1}{2}$•3•（2-m）-$\frac{1}{2}$•6•3=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}$m+2=-$\frac{1}{4}$（m+1）²+$\frac{9}{4}$．
∵a=-$\frac{1}{4}$＜0，
∴m=-1时，S_△PAC的最大值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数、三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会分割法求三角形面积，属于中考常考题型．