Question

5．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，-2），过A、C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）若M为线段OB上的一个动点，过点M做MN平行于y轴交抛物线于点N，当点M运动到何处时，四边形ACNB的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形ACNB面积的最大值？

Answer 1

分析 （1）先根据点的特点，设成交点式，用待定系数法求抛物线的解析式，
（2）设出点P的坐标，表示出PA=m+1，PC=$\sqrt{{m}^{2}+{2}^{2}}$，由PA=PC，求出m即可；
（3）把四边形分成△AOC，梯形OCNM，△BMN，分别求出面积，确定出函数解析式即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（2，0）两点，
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-2），
∴抛物线与y轴交于点C（0，-2），
∴-2=a×1×（-2），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-2）=x²-x-2，
（2）∵点P在x轴正半轴上，
∴设点P（m，0）（m＞0），
∴PA=m+1，PC=$\sqrt{{m}^{2}+{2}^{2}}$，
∵PA=PC，
∴m+1=$\sqrt{{m}^{2}+{2}^{2}}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴OP=m=$\frac{3}{2}$；
（3）如图，

∵M为线段OB上的一个动点，
∴设M（n，0），（0＜n＜2）
∵过点M做MN平行于y轴交抛物线于点N，
∴n（n，n²-n-2）
∵OA=1，OC=2，OM=n，MN=|n²-n-2|=-（n²-n-2）=-n²+n+2，MB=2-n，
∴S_{四边形ACNB}=S_△AOC+S_梯形OCNM+S_△BMN
=$\frac{1}{2}$OA×OC+$\frac{1}{2}$（OC+MN）×OM+$\frac{1}{2}$MB×MN，
=$\frac{1}{2}$×1×2+$\frac{1}{2}$[2+（-n²+n+2）]n+$\frac{1}{2}$×（2-n）×（-n²+n+2）
=-n²+2n+3
=-（n-1）²+4，
∵0＜n＜2，
∴当n=1时，S_{四边形ACNB}面积最大，最大值为4，
∴M（1，0）

点评 此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，面积的计算，解本题的关键是表示线段，难点是四边形面积的分割．