Question

8．已知a是大于1的实数，且有a³+a^-3=p，a³-a^-3=q成立．
（1）若p+q=4，求p-q的值；
（2）当q²=2²ⁿ+$\frac{1}{{2}^{2n}}$-2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a³+$\frac{1}{4}$）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件可得a³=2，代入可求p-q的值；
（2）根据作差法得到p-（a³+$\frac{1}{4}$）=2^-n-$\frac{1}{4}$，分三种情况：当n=1时；当n=2时；当n≥3时进行讨论即可求解．

解答 解：（1）∵a³+a^-3=p①，a³-a^-3=q②，
∴①+②得，2a³=p+q=4，
∴a³=2；
①-②得，p-q=2a^-3=$\frac{2}{{a}^{3}}$=1．

（2）∵q²=2²ⁿ+$\frac{1}{{2}^{2n}}$-2（n≥1，且n是整数），
∴q²=（2ⁿ-2^-n）²，
∴q=2ⁿ-2^-n，
又由（1）中①+②得2a³=p+q，a³=$\frac{1}{2}$（p+q），
①-②得2a^-3=p-q，a^-3=$\frac{1}{2}$（p-q），
∴p²-q²=4，
p²=q²+4=（2ⁿ+2^-n）²，
∴p=2ⁿ+2^-n，
∴a³+a^-3=2ⁿ+2^-n③，
a³-a^-3=2ⁿ-2^-n④，
∴③+④得2a³=2×2ⁿ，
∴a³=2ⁿ，
∴p-（a³+$\frac{1}{4}$）=2ⁿ+2^-n-2ⁿ-$\frac{1}{4}$=2^-n-$\frac{1}{4}$，
当n=1时，p＞a³+$\frac{1}{4}$；
当n=2时，p=a³+$\frac{1}{4}$；
当n≥3时，p＜a³+$\frac{1}{4}$．

点评 考查了负整数指数幂：a^-p=$\frac{1}{{a}^{p}}$（a≠0，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．