Question

1．抛物线y=x²-4x+3交x轴于M，N点（M点在N点左边），交y轴于D点，点E为第一象限抛物线上的点，若∠EMN=2∠ODM，求E点坐标．

Answer 1

分析 如图取点Q（4，1），作QF⊥x轴于F，QP⊥OD于P，作MQ的垂直平分线交P于K，射线MK与抛物线的交点就是点E的位置，求出直线MK的解析式，通过解方程组可以解决点E坐标．

解答 解：如图取点Q（4，1），作QF⊥x轴于F，QP⊥OD于P，由题意D（0，3），M（1，0），N（3，0），
在△DOM和△MFQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=QF}\\{∠DOM=∠MFQ}\\{OD=MF}\end{array}\right.$，
∴△DOM≌△MFQ，
∴∠QMF=∠MOD，
作MQ的垂直平分线交P于K，则KM=KQ，
∴∠KMQ=∠KQM=∠QMF，
∴∠KMF=2∠MDO，射线MK与抛物线的交点就是点E的位置．
∵直线MQ为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，线段MQ的垂直平分线为y=-3x+8，
∴点K坐标（$\frac{5}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∵直线MK为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{4}}\\{y=\frac{33}{16}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标为（$\frac{15}{4}$，$\frac{33}{16}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点E的位置，巧妙利用函数的性质解决交点E坐标，属于中考常考题型．