Question

5．已知：?ABCD，点G在边BC上，直线AG交对角线BD于点F、交DC延长线于点E．
（1）如图（1），求证：△ABG∽△EDA；
（2）如图（2），若∠GCE=2∠ADB，AF：FE=1：2，写图中所有与AD相等的线段．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到∠ABG=∠EDA，AB∥DE，由平行线的性质得到∠BAG=∠DEA，即可得到结论；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，根据三角形的外角的性质得到∠GCE=∠DBC+∠BDC，等量代换得到∠DBC=∠BDC，得到四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AB=BC=CD=AD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{BE}=\frac{AF}{EF}$=$\frac{1}{2}$，求得BC=CE，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABG=∠EDA，AB∥DE，
∴∠BAG=∠DEA，
∴△ABG∽△EDA

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠GCE=2∠ADB=2∠DBC，
∵∠GCE=∠DBC+∠BDC，
∴∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BFE，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AF}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$BE，
∴BC=CE，
∴与AD相等的线段有AB、BC、CD、CE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．