Question

11．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，弧CF=弧CB，过点C作AB的垂线，垂足为D，连接BC、AC、BF，BF与C交于点E．
（1）求证：∠DCB=∠EBC；
（2）若AD=4，BD=1，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）延长CD交O于点R．根据垂径定理得到$\widehat{BC}$=$\widehat{BR}$，于是得到$\widehat{CF}$=$\widehat{BR}$，即可得到结论；
（2）由∠A=∠BCD，得到tanA=tan∠BCD，根据射影定理得到CD²=AD•BD=4，根据勾股定理得到AC=2$\sqrt{5}$，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）延长CD交O于点R．
∵AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BR}$，
∵$\widehat{CF}$=$\widehat{BC}$．
∴$\widehat{CF}$=$\widehat{BR}$，
∴∠DCB=∠EBC；

（2）∵∠A=∠BCD，
∴tanA=tan∠BCD，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴∠ACB=90°，
∴CD²=AD•BD=4，
∵Rt△CBD中：BC²=CD²+DB²，∴BC=$\sqrt{5}$，
Rt△ACB中：AC²=AB²-BC²，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴tanA=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴Rt△CEB中：CE=BC•tan∠EBC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．