Question

11．如图1，△ABC中，点P在AB边上自点A向终点B运动，运动速度为每秒1个单位长度，过点P作PD∥AC，交BC于点D，过D点作DE∥AB，交AC于点E，且AB=10，AC=5，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜10）．
（1）填空：当 t=5秒时，△PBD≌△EDC；
（2）当四边形APDE是菱形时．试求t的值？
（3）如图2，若△ABC的面积为20，四边形APDE的面积为S，试问S是否有最大值？如果有最大值，请求出最大值，如果没有请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出四边形APDE是平行四边形，得出DE=AP，再由全等三角形的性质建立方程求解即可；
（2）先判断出△CDE∽△CBA，得出CE=$\frac{1}{2}$t，再利用菱形的性质得出AP=AE，建立方程求解即可；
（3）借助（2）得出△CDE∽△CBA，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得出S_△CED=$\frac{{t}^{2}}{5}$，同理得出S_△DPB=$\frac{（10-t）^{2}}{5}$，最后用面积的差得出S=-$\frac{2}{5}$（t-5）²+10（0＜t＜10），即可确定出结论．

解答 解：（1）由运动知，AP=t，
∵AB=10，
∴BP=10-t，
∵DP∥AC，DE∥AB，
∴四边形APDE是平行四边形，
∴DE=AP，
∵△PBD≌△EDC，
∴BP=DE，
∴BP=AP，
∴t=10-t，
∴t=5，
故答案为5；
（2）由（1）知，AP=DE=t，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$，
∵AB=10，AC=5，
∴CE=$\frac{1}{2}$t，
∴AE=AC-CE=5-$\frac{1}{2}$t，
∵四边形APDE是菱形，
∴AP=AE，
∴t=5-$\frac{1}{2}$t，
∴t=$\frac{10}{3}$；
（3）S有最大值，理由如下：
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△CED}}{{S}_{△CAB}}=（\frac{ED}{AB}）^{2}$=$（\frac{t}{10}）^{2}$=$\frac{{t}^{2}}{100}$，
∵S_△CAB=20，
∴S_△CED=$\frac{{t}^{2}}{100}$×S_△CAB=$\frac{{t}^{2}}{5}$，
同理：S_△DPB=$\frac{（10-t）^{2}}{5}$，
∴S=S_△CAB-S_△CED-S_△DPB
=20-$\frac{{t}^{2}}{5}$-$\frac{（10-t）^{2}}{5}$
=-$\frac{2}{5}$（t-5）²+10（0＜t＜10）
当t=5时，S_最大=10．
即：S有最大值，最大值为10．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，菱形的性质，解（2）的关键是得出AE=5-$\frac{1}{2}$t，解（3）的关键是利用相似三角形的想得出S_△CED=$\frac{{t}^{2}}{5}$，S_△DPB=$\frac{（10-t）^{2}}{5}$，本题体现了方程的思想，属于中考压轴题．