Question

20．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE是∠BOC的平分线．
（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置．探究∠AOC与∠DOE之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；

Answer 1

分析 （1）先根据邻补角定义求出∠BOC，根据角平分线定义求出∠COE，代入∠DOE=∠COD-∠COE求出即可；
（2）先根据邻补角定义求出∠BOC，根据角平分线定义求出∠COE，代入∠DOE=∠COD-∠COE求出即可；
（3）先根据邻补角定义求出∠BOC，根据角平分线定义求出∠COE，代入∠DOE=∠COD-∠COE求出即可．

解答 解：（1）∵O是直线AB上一点（如图1），
∴∠AOC+∠BOC=180°．
∵∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°．
∵∠DOE=∠COD-∠COE，∠COD=90°，
∴∠DOE=20°；

（2）∠DOE=$\frac{1}{2}$α，
理由是：∵O是直线AB上一点（如图1），
∴∠AOC+∠BOC=180°．
∵∠AOC=α，
∴∠BOC=180°-α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}α$，
∵∠DOE=∠COD-∠COE，∠COD=90°，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$α；


（3）∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC．
理由如下：
∵O是直线AB上一点（如图2），
∴∠AOC+∠BOC=180°．
∴∠BOC=180°-∠AOC．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC），
∵∠DOE=∠COD-∠COE，∠COD=90°，
∴∠DOE=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC）=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC．

点评 本题考查了角平分线定义，角的有关计算等知识点，能正确求出∠COE的度数是解此题的关键，求解过程类似．