Question

3．已知AB是⊙O的直径，AB=6，C为圆外一点，E为圆上一点，连接CE交⊙O于D，∠CAD=∠CEA．
（1）如图1，连接BC，若AC=2$\sqrt{3}$，求∠ABC的度数；
（2）如图2，作EG⊥AB，交⊙O于点G，GE，AD的延长线相交于点F，连接GD交AB于H，过D作DM⊥AC于M，若${\widehat{AD}}=\frac{3}{2}$π，CM=1，求BH的长度．

Answer 1

分析 （1）利用等量代换求出∠CAB=90°，用三角函数即可求出结论；
（2）先判断出四边形AODM为正方形，进而判断出△CMD≌△HOD，即可求出BH．

解答 解：（1）如图1，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵$\widehat{AD}=\widehat{AD}$，
∴∠CEA=∠ABD，
∵∠CAD=∠CEA，
∴∠CAD=∠ABD，
∴∠DAB+∠CAD=90°，
即∠CAB=90°，
∵$AC=2\sqrt{3}$，AB=6，
∴$tan∠ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴∠ABC=30°；

（2）
解：如图2，连接BD，OE，OG，
∵直径AB=6，
∴$OA=\frac{1}{2}AB=3$，
∵${\widehat{AD}}=\frac{3}{2}$π，
∴∠AOD=90°，
∵∠AOD=∠DMA=∠MAO=90°，OA=OD
∴四边形AODM为正方形，
∵OE=OG，EG⊥AB，
∴∠EOB=∠GOB，
∴∠EDB=∠GDB，
∵∠ADB=∠FDB=90°，
∴∠ADH=∠FDE=∠CDA，
∵∠ADM=∠ADO=45°，
∴∠CDM=∠HDO，
∵DM=DO，∠CMD=∠HOD=90°，
∴△CMD≌△HOD，
∴OH=CM=1，
∴BH=OB-OH=2．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了等量代换，正方形的判定，全等三角形的判定，解（1）的关键是求出∠CAB=90°，解（2）的关键是判断出四边形AODM为正方形，是一道中等难度的中考常考题．